|
1stOpt软件包附带有上百个应用实例，从简单的一维函数优化，线性规划到复杂的非线性曲线拟合及工程模型参数优化求解，覆盖了极广的优化应用领域。下面择录几例，其余可下载并安装1stOpt，再进行参考。
1. 非线性应用实例
1stOpt的非线性拟合功能强于目前任何已知软件包，如著名的OriginPro，Matlab，SAS，SPSS，DataFit，GraphPad，TableCurve2D，TableCurve3D等。
例.1: NIST实例
美国国家标准与技术研究院（NIST:
National Institute of Standards and Technology）提供有一套27道非线性拟合测试题，世界上几乎所有著名的数据分析软件包都以能通过该套测试题集为验证标准。经对比测试，1stOpt是目前唯一不依赖使用NIST提供的初始值，而能以任意随机初始值就可求得全部最优解的软件包(如果使用NIST提供的初始值，则更可轻易求得最优解)。由于在实际应用当中，选择确定合理的初始值组是一件非常困难的事，尤其是在参数量比较多的情况下。从此意义而言，1stOpt的实用能力达业界领先水平。下表.1为测试结果。
表.1: NIST测试结果
|
序号
|
测试题名
|
难度
|
参数数
|
初始值
|
采用算法
|
成功率 (%)
|
|
1
|
Misra1a
|
|
2
|
0至5间随机值
|
通用全局优化算法
（Global LM or Global BFGS）
|
100
|
|
2
|
Chwirut2
|
3
|
100
|
|
3
|
Chwirut1
|
3
|
100
|
|
4
|
Lanczos3
|
6
|
100
|
|
5
|
Gauss1
|
8
|
> 90
|
|
6
|
Gauss2
|
8
|
> 90
|
|
7
|
DanWood
|
2
|
100
|
|
8
|
Misra1b
|
2
|
100
|
|
9
|
Kirby2
|
|
5
|
100
|
|
10
|
Hahn1
|
7
|
100
|
|
11
|
Nelson
|
3
|
100
|
|
12
|
MGH17
|
5
|
100
|
|
13
|
Lanczos1
|
6
|
100
|
|
14
|
Lanczos2
|
6
|
100
|
|
15
|
Gauss3
|
8
|
> 90
|
|
16
|
Misra1c
|
2
|
100
|
|
17
|
Misra1d
|
2
|
100
|
|
18
|
Roszman1
|
4
|
100
|
|
19
|
ENSO
|
9
|
100
|
|
20
|
MGH09
|
|
4
|
100
|
|
21
|
Thurber
|
7
|
100
|
|
22
|
BoxBod
|
2
|
100
|
|
23
|
Rat42
|
3
|
100
|
|
24
|
MGH10
|
3
|
100
|
|
25
|
Eckerle4
|
3
|
最大继承法
|
100
|
|
26
|
Rat43
|
4
|
通用全局优化算法
|
100
|
|
27
|
Bennett5
|
3
|
>90
|
例.2: 峰值拟合
拟合模型公式如下：
其中，p1至p4，a0至a2为待求参数
表.2: 峰值拟合数据
|
序号
|
X值
|
Y值
|
序号
|
X值
|
Y值
|
序号
|
X值
|
Y值
|
序号
|
X值
|
Y值
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
|
0.0000
0.2857
0.5714
0.8571
1.1429
1.4286
1.7143
2.0000
2.2857
2.5714
2.8571
3.1429
3.4286
3.7143
4.0000
4.2857
4.5714
4.8571
5.1429
5.4286
5.7143
6.0000
6.2857
6.5714
6.8571
7.1429
7.4286
7.7143
8.0000
8.2857
8.5714
8.8571
9.1429
9.4286
9.7143
10.0000
|
0.0169
0.0294
0.0540
0.0832
0.1769
0.3010
0.4822
0.8909
1.4673
2.6091
3.9487
6.1861
10.2854
14.1971
20.8154
27.9622
34.1893
50.9944
52.8896
74.7148
78.2739
94.8341
97.1913
106.9074
110.5764
99.7094
95.2368
100.9800
95.3051
84.7236
72.5028
63.7613
53.8688
45.3433
47.6868
39.2611
|
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
|
10.2857
10.5714
10.8571
11.1429
11.4286
11.7143
12.0000
12.2857
12.5714
12.8571
13.1429
13.4286
13.7143
14.0000
14.2857
14.5714
14.8571
15.1429
15.4286
15.7143
16.0000
16.2857
16.5714
16.8571
17.1429
17.4286
17.7143
18.0000
18.2857
18.5714
18.8571
19.1429
19.4286
19.7143
20.0000
20.2857
|
41.2603
38.4826
41.0614
42.8718
52.4247
54.6309
58.5655
57.6910
62.2335
63.6598
74.5593
76.3657
76.8343
76.4166
73.9337
83.6326
79.5735
77.3333
82.7579
74.8436
70.2986
69.1072
62.9654
63.9911
63.3608
54.3341
54.7983
54.1602
50.5028
46.6765
37.3148
35.4733
31.4011
31.6141
29.3181
29.2092
|
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
|
20.5714
20.8571
21.1429
21.4286
21.7143
22.0000
22.2857
22.5714
22.8571
23.1429
23.4286
23.7143
24.0000
24.2857
24.5714
24.8571
25.1429
25.4286
25.7143
26.0000
26.2857
26.5714
26.8571
27.1429
27.4286
27.7143
28.0000
28.2857
28.5714
28.8571
29.1429
29.4286
29.7143
30.0000
30.2857
30.5714
|
25.6456
23.5434
21.6426
20.5469
21.0379
23.0230
23.3786
22.6132
28.5862
29.2285
34.6253
40.5241
43.5328
44.4078
55.3422
63.8790
70.3837
64.7925
84.1060
85.2346
96.3957
101.5065
101.5635
125.4770
123.0295
116.8548
132.5786
146.0718
152.3447
149.5277
149.2917
167.8167
140.3957
146.2560
140.2877
150.3306
|
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
|
30.8571
31.1429
31.4286
31.7143
32.0000
32.2857
32.5714
32.8571
33.1429
33.4286
33.7143
34.0000
34.2857
34.5714
34.8571
35.1429
35.4286
35.7143
36.0000
36.2857
36.5714
36.8571
37.1429
37.4286
37.7143
38.0000
38.2857
38.5714
38.8571
39.1429
39.4286
39.7143
40.0000
|
151.0844
135.0494
124.1520
128.2794
121.8187
127.7168
109.3237
98.8645
101.0413
95.4619
82.9761
108.2798
173.0225
125.9043
55.3894
48.4749
40.5538
32.5134
30.7203
26.0722
21.6562
19.8353
16.4291
14.3602
11.6957
8.8610
7.2047
6.0873
5.1435
4.1757
3.0479
2.7644
2.1079
|
如上图示，此列共有4个峰，最后峰仅有三个数据点。对任何其它拟合软件来说，求得正解都将很困难，因为很难给出合适的参数初始值。而1stOpt则无需给出初始值，将自动求出最优解，成功率高于90％。
1stOpt代码:
|
Function y = p1*exp(-2.77*((x-p2)/p3)^2)+p1*exp(-2.77*((x-5*p2)/p4)^2)+
a0*exp(-0.5*((x-a1)/a2)^2)+2*a0*exp(-0.5*((x-2*a1)/a2)^2);
Data;
//x y
0.0000 0.0169
0.2857 0.0294
0.5714 0.0540
.
.
.
39.4286 3.0479
39.7143 2.7644
40.0000 2.1079 |
例.3: GraphPad实例
GraphPad是美国加州大学(the University of California San Diego)教授Harvey Motulsky博士一手创立的享益世界的非线形曲线拟合专用软件包，下面实例来自GraphPad4.03所自带的例子。
拟合模型公式：
Y = Dip
+ Section1 + Section2
其中：
X为自变量，Y为因变量。7个待求参赛为：Dip，Plateau1，Plateau2，LogEC50_1， LogEC50_2， nH1及nH2
数据：
| 自变量 X |
因变量 Y |
|
-11.
-10.
-9.
-8.
-7.
-6.
-5.
-4. |
90.
85.
50.
15.
10.
25.
50.
75. |
1stOpt代码:
|
ConstStr Span1= Plateau1-Dip,
Span2 = Plateau2-Dip,
Section1 = Span1/(1+10^((LogEC50_1-X)*nH1)),
Section2 = Span2/(1+10^((X-LogEC50_2)*nH2));
Variable x, y;
Function Y = Dip+Section1+Section2;
Data;
-11. 90.
-10. 85.
-9. 50.
-8. 15.
-7. 10.
-6. 25.
-5. 50.
-4. 75. |
答案列表
| |
1stOpt答案1 |
1stOpt答案2 |
GraphPad所提供答案 |
| Dip |
544.0467 |
-569.9814 |
183.7 |
| Plateau1 |
279.7714 |
-305.7061 |
94.33 |
| Plateau2 |
-305.7043 |
279.772 |
91.44 |
| LogEC50_1 |
-9.0306 |
-9.0306 |
-8.938 |
| LogEC50_2 |
-10.8567 |
-10.8567 |
-5.072 |
| nH1 |
0.507 |
-0.507 |
0.9745 |
| nH2 |
0.0724 |
-0.0724 |
0.5366 |
| 残差和 |
0.7 |
0.7 |
3.603 |
| 相关系数R2 |
0.9999 |
0.9999 |
0.9995 |
显然，GraphPad并未找到正确结果，而是陷入了一个对一般软件，一般算法都很难逃出的局部最优。而1stOpt则可找到不止一组最优解（使用标准麦夸特 + 通用全局优化法或 BFGS法 + 通用全局优化法），当使用其它算法时，也大都陷入与GraphPad相同的局部最优。
2. 函数优化应用实例
例.1：求下列隐函数z的最小值
其中，x范围：【-1,7]，y范围：【-2，2】
1stOpt代码:
|
Parameters x[-1,7], y[-2,2];
Minimum = z;
Function z = sin((z*x-0.5)^2 + x*2*y^2-z/10)*exp(-((x-0.5-exp(-y+z))^2 + y^2-z/5+3)); |
结果：z = -0.02335 (x =
2.898329，y = -0.8573138)
隐函数最优化乃1stOpt特色之一。据测试，目前尚无其它软件，如著名的Lingo/Lindo，能求出此例的正确答案。
例.2：求下列多维函数的最小值
其中 n＝50，X值范围：[-500,500]
此函数乃著名的Schwefel测试函数，在此50维高维的情况下，常见算法/软件将很难快速求得正解。但对1stOpt来说，却是非常简单。
1stOpt代码:
|
Constant n = 50;
Parameters x(1:n)[-500,500];
MinFunction Sum(i=1:n)(-x[i]*sin(sqrt(abs(x[i]))));
|
使用算法：最大继承法（全局搜索），结果最小值：-20949.14436
3. 线性/非线性规划应用实例
线性规划如选用单纯形算法，各参数的缺省值均大于零；若选用其它全局优化算法，参数的缺省值均为正负自由。
例.1（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题）
一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表.3中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表.4中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
表.3:
|
标准汽油
|
辛烷数
|
蒸汽压力（g/cm^2）
|
库存量
|
|
1
|
107.5
|
7.11*10^(-2)
|
380000
|
|
2
|
93.0
|
11.38*10^(-2)
|
262200
|
|
3
|
87.0
|
5.69*10^(-2)
|
408100
|
|
4
|
108.0
|
28.45*10^(-2)
|
130100
|
表.4:
|
飞机汽油
|
辛烷数
|
蒸汽压力（g/cm^2）
|
产量需求(L)
|
|
1
|
>=91
|
<=9.96*10^(-2)
|
越多越好
|
|
2
|
>=100
|
<=9.96*10^(-2)
|
=250000
|
建模过程 略（详见《运筹学基础》Ｐ５４—５５）
目标函数：max z=x1+x2+x3+x4
约束条件：x5+x6+x7+x8>=250000
x1+x5<=380000
x2+x6<=265200
x3+x7<=408100
x4+x8<=130100
2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4>=0
2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8>=0
16.5x1+2.0x2-4.0x3+17x4>=0
7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8>=0
xj>=0(j=1,2...,8)
1stOpt代码:
|
Parameter
x(1:8)[0,];
MaxFunction
x1+x2+x3+x4;
x5+x6+x7+x8>=250000;
x1+x5<=380000;
x2+x6<=265200;
x3+x7<=408100;
x4+x8<=130100;
2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4>=0;
2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8>=0;
16.5x1+2.0x2-4.0x3+17x4>=0;
7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8>=0;
|
算法选用【单纯形算法】或【简面体爬山法（SM）+ 通用全局优化算法(UGO）】，结果为933400
例.2 潘森等等将线性规划用于饲料配方工作中的应用，见<<计算机农业应用专刊>>(全国农业计算机应用技术学术交流会(二) 1992 P148-151)。 其目标函数和约束条件方程如下：
约束条件 3230x1+2640x2+2500x3+1730x4+2900x5+2230x6+2500x7>2750
8.27x1+43x2+40x3+15.4x4+62x5+50x6+45x7>15
8.27x1+43x2+40x3+15.4x4+62x5+50x6+45x7<16
0.038x1+0.32x2+0.32x3+0.14x4+3.91x5+4.6x6+33.4x8+21x9>2.85
0.038x1+0.32x2+0.32x3+0.14x4+3.91x5+4.6x6+33.4x8+21x9<3
0.058x1+0.15x2+0.14x3+0.32x4+2.9x5+2.15x6+0.14x8+18.5x9>0.5
0.058x1+0.15x2+0.14x3+0.32x4+2.9x5+2.15x6+0.14x8+18.5x9<0.55
0.26x1+2.45x2+2.41x3+0.54x4+4.35x5+3.28x6+2.6x7+99x11>0.8
0.125x1+0.48x2+0.51x3+0.18x4+1.65x5+1.31x6+0.65x7+99x10>0.31
0.298x1+1.08x2+1.4x3+0.58x4+2.21x5+1.74x6+0.83x7+99x10>0.58
0.298x1+1.08x2+1.4x3+0.58x4+2.21x5+1.74x6+0.83x7+99x10<0.63
0.077x1+0.6x2+0.6x3+0.27x4+0.8x5+0.64x6>0.19
x1>0.5,x1<0.66
x2+x3>0.1,x2+x3<0.22
x4>0.04,x4<0.2
x5+x6>0.03,x5+x6<0.07
x7<0.035
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11=1
1stOpt代码:
|
Parameter
x1[0.5,0.66], x4[0.04,0.2],x7[,0.035];
MinFunction 0.44*x1+0.94*x2+0.88*x3+0.48*x4+4*x5+3.4*x6+2.3*x7+0.12*x8+1.6*x9+19*x10+25*x11;
3230*x1+2640*x2+2500*x3+1730*x4+2900*x5+2230*x6+2500*x7>2750;
8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7>15;
8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7<16;
0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9>2.85;
0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9<3;
0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9>0.5;
0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9<0.55;
0.26*x1+2.45*x2+2.41*x3+0.54*x4+4.35*x5+3.28*x6+2.6*x7+99*x11>0.8;
0.125*x1+0.48*x2+0.51*x3+0.18*x4+1.65*x5+1.31*x6+0.65*x7+99*x10>0.31;
0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10>0.58;
0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10<0.63;
0.077*x1+0.6*x2+0.6*x3+0.27*x4+0.8*x5+0.64*x6>0.19;
x2+x3>0.1;
x2+x3<0.22;
x5+x6>0.03;
x5+x6<0.07;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11=1;
|
算法选用【单纯形算法】和【简面体爬山法（SM）+ 通用全局优化算法(UGO）】，结果如下表.4
表.4
结果比较
|
原文最小值
|
DPS最小值
|
1stOpt最小值(参数大于0约束）
|
1stOpt最小值(参数自由）
|
|
0.6567
|
0.6544
|
0.65246
|
0.48133
|
例.3 0-1背包问题
著名的背包问题：一个背包最多只能装N公斤的东西。现有M件物品，重量分别为Wi，价格分别为Pi，应携带那些物品使得携带物品的价值最大?
该实例中，N = 200 (kg), 物品件数M = 20; 重量及价格见下表：
表.5
0-1背包数据
|
重量
|
32,22,5,16,14,18,4,27,19,13,17,6,20,26,20,28,29,18,29,16
|
|
价格
|
19,91,10,6,29,25,54,42,76,84,66,43,33,44,87,62,57,3,37,32
|
1stOpt代码：
|
Constant
W(1:20)=[32,22,5,16,14,18,4,27,19,13,17,6,20,26,20,28,29,18,29,16];
Constant
P(1:20)=[19,91,10,6,29,25,54,42,76,84,66,43,33,44,87,62,57,3,37,32];
Constant
N = 200, M = 20;
Parameter
x(1:M)[0,1,0];
MaxFunction
Sum(i=1:M)(x[i]*P[i]);
Sum(i=1:M)(x[i]*W[i])
<= N;
|
很容易得到结果：最大价值为696，x ＝ 【0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,0,1】
4. 工程应用
1stOpt内镶Pascal/VB语言，因此可处理任何复杂的模型参数优化问题，而无需外部编译器。尤其是通过引入两个关键词”VapParameter”和”VarConstant”，更可轻易处理一些特殊的参数，常量及多数据文件同时优化问题。
例.1ＴＡＮＫ模型参数优化率定
ＴＡＮＫ模型因其结构简单，易懂，应用效果佳而成为水文分析中经常使用的降雨径流模型。下图是三段联立ＴＡＮＫ模型。降雨为输入，流量Ｑ为输出：
Q
= Q1 + Q2
+ Q3
使用参数：
- 初期貯留：L1，L2，L3 (总数 3)，单位：mm
- 貯留能力：S1,S2,S3 (总数3)，单位：mm
- 流量系数：K1,K2,K3,K4,K5 (总数5)
如果同时使用８次降雨径流过程进行参数率定，则初期貯留参数量L将变为：３ｘ８= 24
最后待定参数总量为：２４+ 3 + 5 = ３２
在下面代码中，特殊参数”初期貯留”用关键词”VapParameter”来进行定义。
1stOpt代码:
|
Variable Rainfall; //unit: mm
Variable Runoff; //unit: m^3/s
Constant DT = 1; //time interval, unit: hr
Constant n = 3; //number of rainfall process
Parameter Area [0,3]; //catchment area, unit: km^2
Parameter K(1:5) [0.0001,1]; //discharge coef.
Parameter S(1:3) [1,100]; //storage coef.
VarParameter L(1:3) = 3 [0, 40]; //initial storage
StartProgram;
var
i : integer;
Q1, Q2, Q3, Q4, Q5: Double;
SS1, SS2, SS3: Double;
begin
SS1 := L1;
SS2 := L2;
SS3 := L3;
for i := 0 to DataLength-1 do begin
//tank 1
if SS1 > S1 then
Q1 := K1 * (SS1 - S1)
else
Q1 := 0;
Q2 := K2*SS1;
SS1 := SS1 + (Rainfall[i] - Q1 - Q2) * DT;
if SS1 < 0 then SS1 := 0;
//tank 2
if SS2 > S2 then
Q3 := K3*(SS2-S2)
else
Q3 := 0;
Q4 := K4 * SS2;
SS2 := SS2 + (Q2 - Q4 - Q5) * DT;
if SS2 < 0 then SS2 := 0;
//tank 3
if SS3 > S3 then
Q5 := K5 * (SS3 - S3)
else
Q5 := 0;
SS3 := SS3 + (Q4 - Q5) * DT;
if SS3 < 0 then SS3 := 0;
// change unit from mm -> m^3/s
Runoff[i] := 3600*(Q1+Q3+Q5)*Area*10/(DT*36);
end;
end;
EndProgram;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_1.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_3.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_4.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_6.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_7.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_10.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_11.csv;
DataFile C:\Applications\1stOpt\yangui_12.csv;
|
结果：平均相关系数Ｒ = 0.9887
例.2 时系列自回归模型
已知某河段流量过程如下表.6及图。
| 时段t |
流量Q |
时段t |
流量Q |
时段t |
流量Q |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 |
642
570
523
512
547
579
796
1020
1230
1240
1110
|
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
|
954
850
1070
1470
2360
3200
3440
2970
2430
2020 |
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31 |
1860
1740
1660
1620
1730
1790
1600
1400
1190
948 |
假设流量Q有如下线性自回归关系式：
其中，p1至p4为待求参数；Qt, Qt-1,
Qt-2, Qt-3分别为t, t-1, t-2, t-3时刻流量。
此例的目标函数是最小化计算与实测流量间的残差，即：
Min 
其中，ObsQ，CalQ分别是观测和计算的流量值；n
= 31 – 3 = 28;
1stOpt代码:
|
Constant n=27;
Parameters
p(1:4);
Constant Q(1:3) =
[642,570,523];
Constant ObsQ(0:n) =
[512,547,579,796,1020,1230,1240,1110,954,850,1070,1470,2360, 3200, 3440,
2970,2430,2020,1860,1740,1660,1620,1730,1790,1600,1400,1190,948];
StartProgram;
var
i: integer;
temSSE, CalQ: double;
tq1, tq2, tq3: double;
begin
temSSE := 0;
tq1 :=Q1;
tq2 := Q2;
tq3 := Q3;
for i := 0 to n do begin
CalQ := p1*tq1+p2*tq2+p3*tq3+p4;
if CalQ < 0 then CalQ := 0;
tq1 := tq2;
tq2 := tq3;
tq3 := CalQ;
temSSE := temSSE + sqr(CalQ-ObsQ[i]);
end;
FunctionResult := sqrt(temSSE/28);
end;
EndProgram; |
结果：p1 = 1.1578229980, p2 = -3.25408590, p3 =
3.1013431829, p4 = -5.271458666
5. 非线性拟合测试题
NIST的测试题对于其它拟合软件，可当作验证标准，但对于1stOpt，实在过于简单，缺乏挑战性。下面我们给出九道测试题及由1stOpt计算出的最优解（RMSE：均方差；
R^2：相关系数之平方），每道题有且只有唯一的最优解。有兴趣的用户可尝试任何其它相关软件工具，看能否得出与我们相同或更优的结果。
当用1stOpt求解时，优化算法均选用麦夸特(LM) +
通用全局优化算法(UGO）。有些试题难度较大，在优化参数设定时可考虑增加”重复数“，比如从缺省的30变为50
|
测试题编号
|
拟合模型公式
|
变量名/变量数
|
参数
|
均方差
RMSE
|
相关系数
R^2
|
|
1
|
|
x, y
|
p1 to p5
|
|
0.99678004
|
|
2
|
y
= (p1+p2*x1+p3*x2+p4*x3+p5*x4)/(1+a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4)
|
x1 to x4, y
|
p1 to p5, a1 to a4
|
|
0.9346422
|
|
3
|
|
x, y
|
p1 to p3
|
|
0.969929562
|
|
4
|
y = (a0+a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4)/(1+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4)
|
x1 to x4, y
|
a0 to a4, b1 to b4
|
|
0.80514286
|
|
5
|
z = p1+p2*x^p3+p4*y^p5+p6*x^p7*y^p8
|
x, y, z
|
p1 to p8
|
0.2703296
|
0.994632848
|
|
6
|
y = a0+a1*x^k1+a2*x^k2+a3*x^k3
|
x, y
|
a0 to a3, k1 to k3
|
0.0214726136
|
0.999644261
|
|
7
|
z = (p1+p2*x+p3*y+p4*x*y)/(1+p5*x+p6*y+p7*x*y)
|
x, y, z
|
p1 to p7
|
1.00626078
|
0.9715471
|
|
8
|
y=p1/((p2+x1)*(1+p3*x2)*(x3-p4)^2)+p5*x3^p6
|
x, y
|
p1 to p6
|
0.01977698
|
0.995372
|
|
9
|
y=a*exp(b*abs(x+c)^d)
|
x, y
|
a, b, c, d
|
1.1546909
|
0.9704752
|
测试题1数据
|
No x y
|
No x y
|
No x y
|
No x y
|
No x y
|
No x y
|
|
1 160.73 6266.7
2 159.82 6151.9
3 158.84 6035.1
4 157.86 5920.9
5 156.87 5812.6
6 155.88 5702.2
7 154.89 5594.9
8 153.96 5491.3
9 152.97 5385
10 151.98 5282.2
11 150.99 5181.3
12 150.06 5084.8
13 149.08 4988.8
14 148.09 4892.2
15 147.1 4796.9
16 146.17 4701
17 145.18 4608
18 144.2 4515.2
19 143.2 4429.6
20 142.21 4342.9
21 141.25 4255.6
22 140.2 4167.1
23 139.14 4077.6
24 138.05 3987.9
25 136.96 3898.9
26 135.94 3808.5
27 134.84 3717.7
28 133.74 3628.9
29 132.65 3543
30 131.57 3456.3
|
31 130.55 3372.5
32 129.47 3292.8
33 128.4 3212.7
34 127.33 3133.6
35 126.34 3056.6
36 125.29 2985.5
37 124.26 2912.5
38 123.23 2842.9
39 122.21 2774.1
40 121.21 2708.3
41 120.27 2642.1
42 119.27 2580.2
43 118.29 2518.7
44 117.32 2459.1
45 116.42 2401.1
46 115.48 2344.3
47 114.55 2290.9
48 113.62 2237.5
49 112.7 2189
50 111.85 2138.8
51 110.94 2089.4
52 110.03 2042.4
53 109.13 1998.1
54 108.28 1953.6
55 107.38 1906.6
56 106.48 1867.8
57 105.6 1824.5
58 104.72 1784.3
59 103.91 1745
60 103.05 1704.5
|
61
102.2 1668.7
62
101.35 1629
63
100.51 1590.4
64
99.739 1552.5
65
98.913 1514.7
66
98.103 1476.4
67
97.308 1444.3
68
96.513 1411.4
69
95.78 1378.5
70
95.002 1344.8
71
94.239 1307.8
72
93.482 1276.1
73
92.776 1243.5
74
92.039 1212.9
75
91.314 1178.7
76
90.604 1148.4
77
89.942 1115.9
78
89.244 1084.5
79
88.559 1051.5
80
87.889 1029.7
81
87.226 996.16
82
86.569 965.86
83
85.963 937.72
84
85.323 907.87
85
84.694 877.58
86
84.081 838.17
87
83.473 819.48
88
82.876 797.76
89
82.287 768.54
90
81.811 749.96
|
91
81.178 724.39
92
80.614 697.24
93
80.118 674.67
94
79.574 649.49
95
79.011 629.83
96
78.478 614.6
97
78.012 591.87
98
77.494 573.43
99
76.927 558.94
100
76.512 539.45
101
75.962 526.99
102
75.472 514.14
103
75.014 504.11
104
74.566 484.4
105
74.123 473.23
106
73.608 468.93
107
73.183 453.77
108
72.774 448.58
109
72.369 447.73
110
71.897 431.79
111
71.503 432.45
112
71.116 432.15
113
70.741 420.71
114
70.3 427.26
115
69.935 419.76
116
69.572 407.28
117
69.148 408.04
118
68.796 393.71
119
68.448 403.74
120
68.114 408.8
|
121
67.717 401.26
122
67.374 400.81
123
67.037 401.89
124
66.741 408.68
125
66.416 398.49
126
66.015 414.14
127
65.373 419.78
128
64.769 426.82
129
64.109 418.42
130
63.44 446.32
131
62.772 451.55
132
62.111 473.27
133
61.508 499.69
134
60.908 523.66
135
60.219 551.47
136
59.699 593.53
137
59.119 608.69
138
58.547 658.08
139
57.992 712.27
140
57.483 769.4
141
56.969 826.48
142
56.472 896.05
143
55.989 957.57
144
55.513 1065.1
145
55.088 1114.1
146
54.651 1195
147
54.237 1271.5
148
53.836 1355.6
149
53.318 1483.2
150
52.701 1690
|
151
52.08 2245.9
152
51.431 2470.4
153
50.877 2719.1
154
50.298 2957.5
155
49.74 3155.2
156
49.2 3279.4
157
48.702 3546.4
158
48.182 3741
159
47.681 4021
160
47.213 4015.1
161
46.768 4304.7
162
46.368 4127.9
163
45.956 4530.9
164
45.55 4802.9
165
45.157 5047.4
166
44.799 4804.3
167
44.43 5164.1
168
44.078 4781
169
43.727 5175.5
170
43.384 5708.6
171
43.079 5679.6
172
42.899 5161.8
173
42.719 5399.1
174
42.547 5483
175
42.253 4839.4
176
41.962 5360.7
177
41.691 5622
178
40.602 5772.3
|
|
测试题2数据
|
测试题3数据
|
测试题4数据
|
测试题5数据
|
|
No x1 x2
x3
x4 y
|
No x
y
|
No x1
x2 x3
x4 y
|
No.
x y
z
|
|
1
15100 29000 508.0 180 3.40
2
20500 43350 453.7 141 3.00
3
80000 92610 487.9 132 2.70
4
91500 142775 572.3 182 3.37
5
82500 2123160 455.7 113 6.89
6
20000 227800 481.3 170 5.03
7
17800 140000 541.3 179 3.55
8
3900 15980 538.6 186
2.72
9
17300 223200 460.6 100 4.05
10
25700 229400 393.1 133 3.22
11
49400 424500 373.9 106 2.65
12
40700 561700 482.8 107 1.91
13
77000 563600 482.1 140 3.00
14
92900 557600 415.1 121 1.31
15
63300 528300 536.7 144 2.33
16
51600 488940 385.1 154 3.55
17
60000 480500 412.2 111 3.37
18
70000 530500 567.2 139 2.55
|
1
80.0 6.64
2
140.9 11.54
3
204.7 15.89
4
277.9 20.16
5
356.8 21.56
6
453.0 21.69
7
505.6 22.66
8
674.5 23.15
9
802.32 18.16
10
936.04 16.81
|
1
14 1.38 -34 16 582
2
10 0.52 -29 2 458
3
13 1.70 -32 13 559
4
24 0.80 24 1 322
5
12 1.83 41 11
399
6
6 1.77 -50 7 523
7
18 1.23 27 4 322
8
-10 0.28 -8 6 358
9
0 1.20 66 6
354
10
14 1.75 -60 6 574
11
12 1.78 -70 7 489
12
-18 1.37 -15 0 232
13
16 1.38 0 4 440
14
-4 0.29 -9 -7 421
15
-23 1.12 -12 -14 181
16
5 1.52 0 10
426
17
-16 0.63 34 1 364
18
-1 1.32 22 -7 375
19
-18 1.18 4 -11 224
20
8 1.50 -11 5 514
21
-8 1.43 4 -12
381
22
-11 0.74 10 0 275
23
-19 1.07 -5 0 426
|
1
500 25 1.5
2
500 50 2.25
3
500 100 3.15
4
500 200 4.0
5
500 300 4.2
6
500 400 4.3
7
1000 25 1.45
8
1000 50 2.35
9
1000 100 3.95
10
1000 200 6.95
11
1000 300 8.15
12
1000 400 8.4
13
1500 25 1.45
14
1500 50 2.45
15
1500 100 4.15
16
1500 200 7.45
17
1500 300 10.65
18
1500 400 11.85
19
2000 25 1.45
20
2000 50 2.5
21
2000 100 4.2
22
2000 200 7.75
23
2000 300 11.45
24
2000 400 14.3
|
|
测试题6数据
|
测试题7数据
|
测试题8数据
|
测试题9数据
|
|
No x y
|
No x
y z
|
No x1
x2 x3
y
|
No x y
|
|
1 1.0 8.2
2 2.0 4.6
3 3.0 4.3
4 4.0 4.6
5 5.0 5.1
6 6.0 5.5
7 7.0 5.7
8 8.0 5.5
9 9.0 5.0
10 10.0 3.8
|
1
4332 26.94 43.70
2
4697 23.64 44.50
3
5062 25.19 47.70
4
5428 28.60 52.30
5
5793 28.74 54.21
6
6158 29.33 55.58
7
6523 32.92 55.70
8
6889 31.87 57.70
9
7254 33.07 58.60
10
7619 29.36 60.24
11
7984 27.96 59.13
12
8350 30.18 57.00
13
8715 37.84 57.30
14
9080 38.86 59.00
15
9445 35.18 60.20
16
9811 28.81 61.80
17
10176 34.57 63.17
18
10541 37.49 66.23
19
10906 29.30 61.80
20
11272 32.47 62.03
21
11637 38.24 65.30
|
1
34.9 0.043378 8 0.996556
2
34.9 0.216888 8 0.985708
3
34.9 0.433776 8 0.973826
4
58.2 0.026027 8 0.999409
5
58.2 0.130133 8 0.99817
6
58.2 0.260265 8 1.000176
7
93.1 0.016267 8 0.995131
8
93.1 0.081333 8 1.009887
9
93.1 0.162666 8 1.008251
10
34.9 0.043378 20 0.835576
11
34.9 0.216888 20 0.777734
12
34.9 0.433776 20 0.715483
13
58.2 0.026027 20 0.854949
14
58.2 0.130133 20 0.822743
15
58.2 0.260265 20 0.784273
16
93.1 0.016267 20 0.85902
17
93.1 0.081333 20 0.841512
18
93.1 0.162666 20 0.81895
19
34.9 0.043378 40 0.387322
20
34.9 0.216888 40 0.338941
21
34.9 0.433776 40 0.293558
22
58.2 0.026027 40 0.342388
23
58.2 0.130133 40 0.311761
24
58.2 0.260265 40 0.280112
25
93.1 0.016267 40 0.308071
26
93.1 0.081333 40 0.287257
27
93.1 0.162666 40 0.264443
|
1 27.25 1
2 27.75 3
3 28.25 6
4 28.75 13
5 29.25 18
6 29.75 19
7 30.25 17
8 30.75 16
9 31.25 6
10 31.75 5
11 32.25 2
|
|
